Предполагаю у вас вот такая схема:
Если угадал, то надо добавить RC на Reset:
При этом R1*C2 < R5*C5
Идея такова: У вас возникла RC-цепь на 2-ногу. При включении ваше реле размыкается, но "+"
на 2-ноге так и не появляется - пока не зарядится конденсатор C2 через резистор R1.
Время заряда до 63% напряжения питания: T=R1*C2 (1 секунда = 1 Ом * 1 Фарад)
Тогда делаем задержку на Reset так чтобы задержка на 4-ногу была больше, чем на 2-ю.
Должен получиться такрй порядок:
1.при включении реле замкнуто, на 2-ноге "-", на 4-ноге "-", начинается заряд R5*C5;
2.реле размыкается - начинается заряд R1*C2, продолжается заряд R5*C5;
3.R1*C2 должна зарядиться быстрее перейти порог срабатывания 2-ноги с "-" на "+", а R5*C5
не должна в это время пройти порог срабатывания 4-ноги (Reset), поэтому таймер должен
еще находиться в состоянии сброса.
4.R5*C5 поднимут уровень напряжения до порога срабатывания 4-ноги (Reset) с "-" на "+" и
таймер включится. В момент включения на 2-ноге уже "+".
При срабатывании реле конденсатор C2 разрядится (через реле), а С5 будет разряжаться только при
отключении питания всей схемы.
Такой вот набросок. Только надо иметь ввиду что разница задержки этих двух RC-цепей еще не учитывает
того времени, пока реле будет замкнуто в момент включения, и сколько времени пройдет до его размыкания.
То есть для правильной работы этой идеи надо R5*C5 > (R1*C2 + Tреле), где Треле - время на размыкание реле.
Подогнать под себя можно экспериментально поставив в позицию R5 переменный резистор больше рассчитанного
по формуле номинала - чтобы пройти еще задержку реле, но не особо огромным - чтобы потоньше была настройка,
а то таймер может слишком долго "спать" при включении.
Да, есть еще одна неувязочка: 2-нога ловит "-" при пороге срабатывания 1/3 напряжения питания, а 4-нога - это
TTL-совместимый вход, то есть "-" воспринимается не более 0,7В независимо от выбранного напряжения питания, а
"+" от 2,0В. Между ними зона невосприятия - как будет себя при этом вести 555 не знаю.
Поэтому для подбора R5 я бы последовательно соединил 3 переменных резистора 100К + 10К + 1К (грубо,
средне, тонко) - чтобы было возможно тонко настроить номинал R5 в широком диапазоне.
про RC-цепи хорошо расписано
здесь. Ваш случай в разделе "Как еще можно применить RC цепь?"